The Black Forest

5521. Submitted on 2016/4/16, 20.38 h by Arduenn:

Dat kan sneller (en dus groter)

3 × 3 is een hyperbewerking van optellen: 3 + 3 + 3

33 is een hyperbewerking van vermenigvuldigen, 3 × 3 × 3

33 is een hyperbewerking van machtsverheffen, 33³

33 is een hyperbewerking van tetreren, ³33

… etc.

Een hoop gedoe. Waar zetten we de volgende reeks getalletjes neer? Met pijltjes is deze notatie simpeler…

33 = 3↑13

33 = 3↑23

33 = 3↑33

Sommige wiskundigen vonden de volgende notatie van wiskundige bewerkingen wat ASCII-vriendelijker:

33 = 3↑13 = 3[1]3

33 = 3↑23 = 3[2]3

33 = 3↑33 = 3[3]3

Die getallen worden best snel groot, maar het kan natuurlijk sneller. Door 3[3]3 als een element te beschouwen die je iteratief in een nieuw blok met rechte haken zet, en opnieuw, en opnieuw…

3↑33 = 3[3]3

3↑[3↑³3]3 = 3[3[3]3]3

3[3[3[3]3]3]3

3[3[3[3[3]3]3]3]3

Voel je'm? 'Knuth's arrow up notation on crack'. Maar ook hier beginnen we ruimtegebrek te krijgen, qua schrijven. Ook dat kan korter. Conway heeft een manier:

3[3]3 = 3→3→3→1

3[3[3]3]3 = 3→3→3→2

3[3[3[3]3]3]3 = 3→3→3→3

3[3[3[3[3]3]3]3]3 = 3→3→3→4

Graham's nummer zit nog maar in die tweede orde van hyperbewerkingen, oftewel hyperhyperbewerking,

G64 = een schamele 3→3→64→2

3→3→3→3, de derde orde van hyperbewerkingen, hyperhyperhyperbewerkingen is alweer schandelijk veel groter.

Toch begint het bij de hyperhyperhyperhyperbewerkingen alweer te jeuken…

3→3→3→4

We willen meer dan megalomaan. Steeds maar weer. Albert Speer in elke kubieke Planck-lengte in alle multiversa die er in de Theory of M maar te bedenken zijn. (Onee, laat maar zitten, véél te klein voorbeeld. Nietig klein.)

En dus gaan we monstreus, multidimensionale iteraties van multidimensionale iteraties…

3→3→3→3

3→3→3→3→3

3→3→3→3→3→3

Dit soort getallen hebben geen namen meer, maar het begint qua notatie alwéér te vervelen. Na Conway's notation heeft nog niemand wat verzonnen dat nóg explosiever toeneemt. Volgens mij hadden ze de dubbele rechte haakjes nog niet geclaimed…

3→3 = 3[[2]]3

3→3→3 = 3[[3]]3

3→3→3→3 = 3[[4]]3

En dan iteratief…

3[[3]]3

3[[3[[3]]3]]3

3[[3[[3[[3]]3]]3]]3

Waarbij volgens mij de dubbele pijltjes nog beschikbaar zijn…

3[[3]]3 = 3→→3→→3→→2

3[[3[[3]]3]]3 = 3→→3→→3→→3

3[[3[[3[[3]]3]]3]]3 = 3→→3→→3→→4

En daarvan natuurlijk de monstreushypermultidimensionale iteraties van de monstreushypermultidimensionale iteraties

3→→3→→3→→3

3→→3→→3→→3→→3

3→→3→→3→→3→→3→→3

Hee, zien jullie ook een patroon? Volgens mij betreden we met de 3[n3]n3 en 3→n3 een geheel nieuw domein van weerzinwekkend wanstaltig walgelijke toename van getallenreeksen.

Of zijn jullie al murw?

There are 9 comments to this post (the latest by Arduenn on 2016/4/21, 13.38 h).

1. Choco commented on 2016/4/17, 20.35 h:

tip: Numberphile visueel graham nummer. Uitgeschreven zoals hierboven. Maar leuker is natuurlijk dat het nog wel een praktische uitdaging is zoals Busy Beavers.

2. Arduenn commented on 2016/4/17, 21.59 h:

W00t! Paper change!

3. Kittekat commented on 2016/4/17, 22.10 h:

Betekent dit dat ik - eindelijk - de staatsloterij heb gewonnen?

[image]

4. Dave commented on 2016/4/18, 1.31 h:

Ik vin gaaf

5. Jasper commented on 2016/4/18, 11.00 h:

Arduenn's Schwartzmann's number.

(maar heeft dat nummer dan ook een functie? Grahams Number is tenslotte ontstaan doordat ze een oplossing voor een vraagstuk zochten. Jij zoekt gewoon naar het meest belachelijk grote getal, denk ik.)

PS. Echt enorm interessant overigens, dit soort theoriën, alhoewel ik iets dergelijks zelf niet kan toepassen of uitvogelen. Dat zit er bij mij niet in.

De grootte van dergelijke getallen gaat je al snel de pet te boven maar de theorie er achter is fascinerend.

PS2. Waarom wordt 3 de hele tijd als voorbeeld genomen en niet bijvoorbeeld 7 of 5 of 8?

6. Arduenn commented on 2016/4/18, 21.31 h:

Ik zit in een iteratie-loop, qua steeds grotere en sneller-toenemende getallen. Die moet ik op een of andere manier ontstijgen voor nog snellere toename. De vraag is nu niet meer: met welke notatie kan het nog groter, maar met welke notatie kan het nog sneller oplopen?

7. Dave commented on 2016/4/18, 21.32 h:

π→→π→→π→→π→→π→→π

Een enorm getal zo kort mogelijk schrijven, nu met extra oneindig veel getallen achter de coma.

8. Dave commented on 2016/4/21, 11.32 h:

Heb je het wel een geplot?

Hoe ziet y = x[x]xx er grafisch uit op logpapier?

9. Arduenn commented on 2016/4/21, 13.38 h:

Dat ziet eruit al allemaal punten, want er wordt alleen met positieve integere getallen gerekend.

Add new comment:

Name:

Site:

The Black Forest navigation bar

|< : << : : >> : >|